3.1 · 力

力与相互作用

力的三要素

定义: 力是物体对物体的作用，是描述物体间相互作用的物理量。
施力物体: 施加力的物体，如拉木块的绳。
受力物体: 受到力的物体，如被拉的木块。
矢量: 既有大小，也有方向，合成遵循平行四边形定则；单位为牛顿（N）。
三要素: 大小、方向、作用点。
作用效果: 使物体发生形变，或改变运动状态。

力的图示

选定标度，按比例画出有向线段，表示力的三要素。

力的示意图

不必严格选定标度，用有向线段定性表示大小，画出作用点、方向，标明力的符号。

力的分类

按性质与按效果

性质力

重力、弹力、摩擦力。

效果力

支持力、压力、拉力，以及动力、阻力等。

支持力、压力和绳的拉力都属于弹力，不能重复计入受力图。

3.1 · 重力

重力与重心

课本公式可直接在答题卡上使用；其余为几何推论或模型关系，解答题中先写明依据、适用条件和必要推导。

定义: 由于地球的吸引而使物体受到的力。
大小: $g$ 取当地或题目给定的数值，通常取 9.8 N/kg，也可按题意取 10 N/kg。
方向: 竖直向下，即当地重垂线的方向；不是垂直斜面向下，也不能说总是指向地心。
作用点: 重心，物体所受重力的等效作用点。
施力物体: 地球。

竖直向下与垂直斜面

当地竖直与地心方向

考虑地球自转等因素时，两者不一定重合；在忽略自转的球形地球模型中，可近似认为重力指向地心。

重心的位置

重心由物体的形状和质量分布共同决定。质量分布均匀、形状规则时，可利用对称性或几何关系确定；重心可以位于物体的实体之外。

均匀直棒

均匀球

均匀三角形薄板

均匀圆环

外形不变，质量分布改变

质量分布的影响

两段内部各自均匀、质量相等，左段较短；重心偏向质量分布更密集的左侧。

形状改变时，重心位置也可能改变。

两次悬挂法

适用于薄板状物体。每次悬挂都待薄板静止，沿重垂线在同一块薄板上画线；两条记录线的交点就是重心。

① 从 A 点悬挂

② 换 B 点悬挂

③ 两条记录线的交点

3.1 · 弹力

弹力的产生与方向

形变: 物体的形状或体积发生改变。
弹性形变: 撤去作用力后，能够恢复原状的形变。
弹性限度: 物体发生弹性形变的限度；形变超过这一限度，撤去作用力后不能完全恢复原状。
弹力: 发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。
产生条件: 直接接触，并发生弹性形变。施力物体是发生弹性形变的物体；形变可以很微小。
方向依据: 与施力物体恢复原状的趋势一致。有恢复趋势即可，不要求正在恢复。

接触不一定有弹力；保持静止、形状不再变化的物体，也可以持续施加弹力。

按接触方式判断方向

面与面

垂直于公共接触面，指向受力物体。

点与面

过接触点，垂直于接触面；曲面取接触处的切面。球与平面接触时，法线经过球心。

点与点：两球接触

沿接触处的公法线，即两球心的连线。

绷紧的轻绳

沿绳，指向绳拉紧的一侧；绳只能拉，不能推。

弹簧

沿弹簧轴线，指向恢复原长的方向。

杆：仅两端受力的轻杆

仅两端受力且平衡时，杆的弹力沿两端连线；杆可以产生拉力，也可以产生压力。

杆：一般情形

弹力不一定沿杆，要结合形变和受力状态判断。图中小球静止，杆对球的弹力竖直向上。

3.1 · 实验与规律

胡克定律与实验

课本公式可直接在答题卡上使用；其余为几何推论或模型关系，解答题中先写明依据、适用条件和必要推导。

在弹性限度内

弹簧弹力的大小，与伸长或缩短的长度成正比。

形变量 x

$x=|l-l_0|$ ，单位 m；是伸长或压缩的长度，不是弹簧总长。

劲度系数 k

单位 N/m，由弹簧自身性质决定。同样的形变量下，k 越大，弹力越大； $k=F/x$ 用于计算，不能据此说 k 随 F、x 改变。

实验装置与操作

竖直悬挂，静止后读数

尺靠近弹簧；图中零刻线对齐悬点，虚线标出竖直空载时的下端位置。

器材：铁架台、铁夹、弹簧、钩码、刻度尺。

固定装置：弹簧竖直悬挂，刻度尺与弹簧轴线平行。
测原长：不挂钩码，待弹簧静止，记录竖直空载长度 $l_0$ 。
逐次加载：少量增加钩码；每次静止后，记录钩码总质量 m 和弹簧长度 l。视线正对刻度，始终读同一端点。
检查限度：在弹性限度内取多组数据；卸载后应恢复原长。若出现永久伸长，该段数据不能继续套用胡克定律。

由长度求伸长量

$x=l-l_0$ 。l、 $l_0$ 使用同一基准、同一单位；计算前先作差。

由质量求弹力

钩码静止时， $F=mg$ ；m 是悬挂钩码的总质量，用 kg。振动过程中，不能直接用钩码重力代替弹力。

从测量值到图像

数据示例： $g=10\,\mathrm{N/kg}$ ， $l_0=6.0\,\mathrm{cm}$ 。

物理量	空载	1	2	3	4	5
m / g	0	30	60	90	120	150
l / cm	6.0	7.2	8.3	9.5	10.6	11.8
x / cm	0	1.2	2.3	3.5	4.6	5.8
F / N	0	0.30	0.60	0.90	1.20	1.50

F-x 图：由斜率求 k

十字为测量值；A、B 取在拟合直线上，不要求恰好是实验点。

F-l 图：由横截距求原长

同一组数据改用总长作横轴；虚线为外推段，横截距约为 6.0 cm。

标轴与标度：写明物理量和单位，选择合适标度，使点分布在坐标纸的较大范围内。
描点与连线：用铅笔描点，用直尺画反映整体趋势的直线，让点尽量均匀分布在线的两侧；不逐点折线连接，不强迫通过原点。
延长到坐标轴：在坐标范围内延长拟合线，观察截距；不能只连首、末测量点就结束。
远取两点求斜率： $k=\Delta F/\Delta x$ 。本例约为 $26\,\mathrm{N/m}$ ；图上横轴用 cm，代入斜率时要换成 m。

横轴是形变量

理想关系为 $F=kx$ ，图线过原点。实测图线近似过原点且点迹接近直线，才支持正比关系。

横轴是总长度

$F=k(l-l_0)$ ：斜率仍为 k，横截距为 $l_0$ ，外推的纵截距为 $-kl_0$ 。负截距不表示实验中弹力大小为负。

F-x 图不通过原点：原长读错会怎样？

假定加载后的长度读数正确，只有原长读数偏差为 δ： $l_{0,\mathrm m}=l_0+\delta$ ，所算伸长量 $x_{\mathrm m}=x-\delta$ ，因此 $F=kx_{\mathrm m}+k\delta$ 。

原长偏大：纵截距为正

所算伸长量偏小，图线向左移；与灰色正确基准线平行，斜率不变。

原长偏小：纵截距为负

所算伸长量偏大，图线向右移；不能因为不过原点就判定胡克定律不成立。

固定的原长偏差改变截距，不改变斜率；有截距时，应用直线上两点的差值求 k，不能任取一点用 $F/x_{\mathrm m}$ 计算。

弹簧自重：两种原长基准

同一重弹簧，改变伸长量的起点

m_{\mathrm s}=0.20\,\mathrm{kg}

，

k=30\,\mathrm{N/m}

，

g=9.8\,\mathrm{N/kg}

。

以下限于均匀弹簧、线性弹性模型；F 是弹簧下端所挂负载的拉力。

基准	关系与截距
竖直空载长度	以空载长度为 $l_0$ ， $x=l-l_0$ ，仍有 $F=kx$ 。自重引起的伸长在相减时抵消，近似过原点。
无重力自然长度	x 包含自重引起的伸长； $F=kx-\frac{m_{\mathrm s}g}{2}$ ，纵截距为负。 $m_{\mathrm s}$ 是弹簧质量；本例截距为 −0.98 N。

误差分析与操作规范

检查项	对结果的影响	操作或判断
单位	把 cm 当成 m，会使求出的 k 缩小为正确值的 1/100。	长度换成 m；若图像斜率单位为 N/cm，数值乘 100 才是 N/m。
视线与端点	斜视、端点不统一会改变长度读数；误差方向取决于具体读法。	尺靠近弹簧，视线正对刻度，固定测量端点，按分度值估读。
静止状态	振动时弹力不一定等于钩码重力，用 mg 替代会使对应数据失真。	每次加载或卸载后，待静止再读数。
原长与零点	只把原长读错会产生上面的截距偏移；若 l 和 $l_0$ 同时带有相同固定读数偏移，作差后会抵消。	统一基准，不在两次读数之间移动刻度尺；不能仅凭非零截距就断定是哪一种误差。
弹性限度	超载后点迹可能偏离直线，卸载后可能留下永久伸长。	只用弹性范围内的数据求 k，不对超载数据全程拟合。
拟合与取点	逐点连线放大读数波动；取点过近会放大斜率的相对误差。	依据全部有效点画最佳直线，从线上取相距较远的两点求斜率。

3.2 · 摩擦力

静摩擦与滑动摩擦

课本公式可直接在答题卡上使用；其余为几何推论或模型关系，解答题中先写明依据、适用条件和必要推导。

比较	静摩擦力	滑动摩擦力
定义	接触面间有相对滑动趋势，但未发生相对滑动时，阻碍这种趋势的力。	接触面间发生相对滑动时，阻碍相对滑动的力。
共同条件	接触面粗糙，且相互接触、挤压。
相对状态	有滑动趋势，但没有滑动。	正在相对滑动。
方向	沿接触面，与相对滑动趋势相反。	沿接触面，与相对滑动方向相反。
大小	由其他力和运动状态确定。 $0<F_f\leq F_{f,\max}$
注意	无相对滑动，也无滑动趋势时，摩擦力为零。	$F_N$ 是接触面间的正压力，不一定等于重力； $\mu$ 是动摩擦因数，无单位。

静摩擦力不是固定值。它随维持相对静止的需要而变，不能直接套用滑动摩擦力公式。

最大静摩擦力是将要开始相对滑动时的临界值，通常略大于相同接触条件下的滑动摩擦力。达到最大值时仍可未滑动，继续增大推力才会开始滑动。

逐渐增大推力：从静止到滑动

木块原来静止在粗糙水平面上，只受水平推力 $F$ 和摩擦力这两个水平力。接触材料、表面状况和正压力保持不变；推力从零逐渐增大。

静止时，两水平力平衡，摩擦力随推力增大。

本例：最大静摩擦力为 10 N，滑动摩擦力为 8 N。

未滑动：推力从零增至 10 N，静摩擦力也从零增至 10 N。

开始滑动后：摩擦力降为 8 N；本模型中，继续增大推力，滑动摩擦力仍为 8 N。图中的水平段表示摩擦力不变，不能据此认为物体做匀速运动。

3.2 · 摩擦力的综合运用

摩擦力的判断与变化

条件法：找接触面，检查粗糙、挤压以及相对滑动或滑动趋势。

假设法：暂时去掉所研究接触面的摩擦，判断两个接触物体的相对滑动趋势。

状态法：结合其他力与运动状态判断；静止或匀速直线运动时，各力的作用相互平衡。

车厢中的木箱

研究木箱，车与箱均向右运动；木箱除车厢的摩擦力外，没有其他水平作用力。以下图中只画所讨论的摩擦力。

没有打滑：木箱与车厢保持相对静止

匀速：无水平滑动趋势，摩擦力为零。

加速：箱有相对车厢向后滑的趋势，静摩擦力向右。

减速：箱有相对车厢向前滑的趋势，静摩擦力向左。

发生打滑：比较箱与车厢的速度

相对车厢向右滑，滑动摩擦力向左。

相对车厢向左滑，滑动摩擦力向右。

水平传送带

带面向右匀速运动，物块除带面摩擦力外没有其他水平作用力；比较的是物块与带面的速度。

相对带面向左滑，滑动摩擦力向右。

物块随带匀速运动：无滑动趋势，摩擦力为零。

相对带面向右滑，滑动摩擦力向左。

倾斜传送带

物块与带面保持相对静止，随带做匀速直线运动；除重力外，只受带面的支持力和摩擦力。

静摩擦力与速度同向。

静摩擦力与速度反向。

去掉摩擦，物块都有相对带面向下滑动的趋势，因此两图的静摩擦力方向相同。

摩擦力与速度也可以垂直

瓶子不相对手滑动。静摩擦力向上，与速度垂直；图中只画重力和摩擦力。

滑动停止后，重新判断

粗糙水平面上的物块原来向左滑动，受到向右的恒力 5 N。滑动摩擦力大小为 10 N，最大静摩擦力大于 5 N；物块除该恒力和摩擦力外没有其他水平力。

滑动时：摩擦力向右，与拉力同向，物块向左减速。

停下后：5 N 拉力不足以使它重新滑动，静摩擦力为向左的 5 N。

规定向右为正，

t_0

为停下时刻；摩擦力从 +10 N 变为 −5 N。

3.3 · 牛顿第三定律

牛顿第三定律

作用力与反作用力

一个物体对另一个物体施力时，也同时受到后者对它的力。这一对相互作用力叫作作用力和反作用力。

作用对象: 分别作用在两个物体上，施力物体与受力物体互换。
命名: 任取其中一个力叫作用力，另一个就叫反作用力；没有先后、主次之分。

牛顿第三定律

两个物体之间的作用力与反作用力，大小相等、方向相反，作用在同一条直线上。

课本公式可直接在答题卡上使用；其余为几何推论或模型关系，解答题中先写明依据、适用条件和必要推导。

负号表示两个力的方向相反。

同性质: 同一对力的性质相同。
同时性: 同时产生、同时变化、同时消失。
普遍性: 与物体的质量、运动状态无关。

实验验证

两只弹簧测力计相互钩住，沿轴线缓慢拉动，示数稳定后读数。

改变拉力，多次比较，两表示数相等。

相互作用力与平衡力

桌与书：一对相互作用力

桌对书的支持力 ↔ 书对桌的压力

静止的书：一对平衡力

桌对书的支持力与书受到的重力

比较	相互作用力	一对平衡力
共同点	等大、反向、共线
作用对象	两个物体	同一个物体
力的性质	一定相同	可以不同
存在关系	相互依存，同时产生、消失	无此依存关系
作用效果	不能在同一物体的受力分析中相互抵消	对同一物体的作用效果相互抵消

重力的反作用力：物体对地球的引力。

3.3 · 物体受力的初步分析

受力分析

定对象明确物体与时刻，单独取出。
画重力竖直向下，施力物体是地球。
查接触逐处判断弹力，再判断摩擦力。
核来源每个力都对应一个施力物体。

木块静止在粗糙斜面上

情境图

木块的受力图

重力 $G$: 地球施加，竖直向下。
支持力 $F_N$: 斜面施加，垂直斜面向外。
静摩擦力 $f$: 斜面施加，沿斜面向上；木块有沿斜面向下滑动的趋势。

避免多画、漏画与重复画

只画研究对象受到的力，不画它对其他物体的力。
接触处可能同时存在弹力和摩擦力；接触不一定有弹力。
支持力、压力、拉力属于弹力，不能再添画一个“弹力”。
运动方向、下滑趋势都不是一个力。

3.4 · 力的合成

共点力与力的合成

共点力: 作用在同一物体的同一点，或作用线相交于一点的几个力。
合力与分力: 一个力单独作用的效果与几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作它的分力。
力的合成: 求几个力的合力；各分力的大小、方向确定后，合力唯一。
等效替代: 合力与分力是同一作用效果的两种表示，不能重复计入受力；不能用“真实或虚拟”区分它们。

平行四边形定则与三角形定则

共起点：两分力作邻边

从共同起点出发的对角线表示合力。

首尾相接：由首端指向末端

平移矢量表示，不改变力的大小、方向或实际受力对象。

力是矢量，按平行四边形定则相加；质量、时间、路程是标量，按算术法则相加。

合力的大小与方向

同向时与两分力同向；反向时与较大分力同向。合力为零时无确定方向。

两分力大小固定、夹角从 0° 增至 180°，合力逐渐减小。

两分力垂直； $\alpha$ 是合力与 $F_1$ 的夹角。

首尾相接，构成直角矢量三角形。

两分力均为 $F_0$ ，夹角为 $\theta$ ；非零合力沿角平分线。

F=\sqrt3 F_0

F=\sqrt2 F_0

F=F_0

青色表示两个等大的分力

F_0

，金色表示合力。

合力可以大于、等于或小于任一分力。只增大某个分力，合力也不一定增大：反向的 5 N 与 1 N 合成为 4 N，把 1 N 增至 3 N，合力反而变为 2 N。

3.4 · 实验

探究两个互成角度的力的合成规律

实验原理：等效替代

用两个拉力和一个拉力，分别把同一条橡皮条、同一固定端下的结点拉到同一 O 点，使橡皮条的伸长量和方向均相同。

两力拉：记大小、方向和 O 点

一力拉：复现同一个 O 点

同一组实验必须同 O 点；换一组数据可以改变 O 点。仅保证橡皮条长度相同，不能保证弹力方向相同。

装置、记录与作图

器材：木板、白纸、图钉、橡皮条、轻环或结点、细绳套、两只弹簧测力计、刻度尺、三角板、铅笔。

校准：在使用姿态下调零；两测力计互钩、沿轴线对拉，在不同拉力下比较示数。
双力测量：两力互成角度拉结点；稳定后描下 O 点、两细绳方向，记录 $F_1,F_2$ 。
单力测量：改用一只测力计，把结点拉回本组 O 点；记录大小 $F_{\text{实}}$ 和方向。
统一标度作图：从 O 点画两分力，以它们为邻边补平行四边形，画出对角线 $F_{\text{图}}$ 。
比较与重复：比较 $F_{\text{图}}$ 与 $F_{\text{实}}$ 的大小和方向；改变两力大小、方向，多组验证。

同一标度下叠加比较

虚线为辅助边，金色为作图合力，白色虚箭头为单力实测值。图示仅说明比较方法。

结论

在误差允许的范围内，作图合力与单力实测值大小、方向一致，支持平行四边形定则。

记号辨认

$F_{\text{实}}$ 是单只测力计的拉力；理想平面条件下，方向沿固定端 A 指向结点 O。

试题中 $F$ 、 $F'$ 的记号可能互换，必须按题图辨认“实测”和“作图”。

误差分析与操作要求

检查项	影响	操作要求
结点位置	没有回到 O 点，橡皮条弹力的大小或方向改变，等效条件失效。	先描点，同组两次均准确复位。
调零与读数	零点偏差带入力的大小；斜视造成视差。	使用前调零、互钩检查；视线正对刻度，按分度值估读。
拉力方向	偏离测力计轴线影响示数；抬离木板使平面作图失真。	沿仪器轴线施力，橡皮条、细绳和测力计贴近且平行木板。
方向记录	标记距离太短，位置误差会放大为角度误差。	细绳适当长，沿绳标出相距较远的点。
标度与作图	标度不统一、图太小或平行线不准，影响长度和方向比较。	同组统一标度，图示适当大，用直尺、三角板作图。
量程与夹角	超量程、超过弹性限度或夹角过于极端，降低结果可靠性。	拉力与形变宜明显但不超限；夹角适中，不必固定为 90°。

3.4 · 力的分解

力的分解与作用效果

求一个已知力的分力，叫作力的分解。它是力的合成的逆过程，仍遵从平行四边形定则；没有附加限制时，有无数种分解。

附加条件与分解结果

已知两个分力方向

两个方向不共线，且原力在两指定射线所夹范围内时，分解唯一。

已知一个完整分力

\vec F_2=\vec F-\vec F_1

；从已知分力末端指向原力末端。

已知一个方向：另一分力的最小值

原力 $F$ 固定， $F_1$ 沿指定射线且非零，与原力成锐角 $\alpha$ 。

原力末端到 $F_1$ 射线的垂线段最短。

取最小值时， $F_1\perp F_2$ ，且 $F_1=F\cos\alpha$ 。

再给定 F₂ 大小：圆与射线的交点

条件	非零分力的解数
$F_2\lt F\sin\alpha$	无解
$F_2=F\sin\alpha$	一解（相切）
$F\sin\alpha\lt F_2\lt F$	两解
$F_2\ge F$	一解

沿用上面的锐角、指定射线条件； $F_2=F$ 时，原点对应的零分力不计。

按作用效果分解

斜面上的重力

G_{\parallel}=mg\sin\theta

，

G_{\perp}=mg\cos\theta

；分别对应下滑趋势与压紧效果。

斜向上的拉力

F_x=F\cos\theta

，

F_y=F\sin\theta

；θ 为拉力与水平的夹角。

重力的分量仍作用在物体上；物体对斜面的压力作用在斜面上。两者不能混为同一个力，数值相等也需要相应的平衡条件。

3.4 · 正交分解

正交分解与多力合成

把力沿两个选定的相互垂直的方向分解，叫作正交分解。选轴应尽量减少需要分解的力。

$\alpha$ 从 $x$ 轴正方向量起。分量保留正负号，负号表示与该轴正方向相反。

常选“水平—竖直”或“沿斜面—垂直斜面”；转动坐标轴会改变分量，但不会改变原力。

多力合成的顺序

选对象、画全力，建立一组正交轴。
逐力分解，标清夹角，保留分量符号。
同轴代数相加，求出 $F_x,F_y$ 。
由合分量求大小，并结合正负号确定合力方向。

使用同一坐标系，不能直接相加各力的大小。

正切式限 $F_x\ne0$ ；还要判断象限。两分量均为零时，合力为零。

例：拉力与斜面夹角

斜面倾角为 15°，100 N 的拉力与水平向右方向成 45°。求沿斜面向上和垂直斜面向外的分量。

\alpha=45^\circ-15^\circ=30^\circ

F_x=100\cos30^\circ=50\sqrt3\,\mathrm N

F_y=100\sin30^\circ=50\,\mathrm N

代入的是力与所选坐标轴的夹角。

例：三个力的合成

$F_1=40\,\mathrm N$ ，与 $+x$ 轴成 37°； $F_2=30\,\mathrm N$ ，在第二象限、与 $+y$ 轴成 53°； $F_3=36\,\mathrm N$ ，沿 $-y$ 轴。取 $\sin37^\circ=0.6$ 、 $\cos37^\circ=0.8$ 。

力	x 分量 / N	y 分量 / N
$F_1$	32	24
$F_2$	−24	18
$F_3$	0	−36
合分量	8	6

F=\sqrt{8^2+6^2}=10\,\mathrm N

合力在第一象限， $\tan\alpha=6/8=3/4$ ，方向与 $F_1$ 相同。

3.5 · 共点力的平衡

平衡条件与解题方法

平衡状态: 保持静止或保持匀速直线运动。速度可以不为零，但速度矢量保持不变。
瞬时零速: 不能推出平衡。例如竖直上抛到最高点，速度为零，仍受到重力，不能保持静止。
平衡条件: 物体所受共点力的合力为零；不是每个力都为零。

课本公式可直接在答题卡上使用；其余为几何推论或模型关系，解答题中先写明依据、适用条件和必要推导。

适用于本章质点或共点力模型。

平面内选正交轴，分别令两个方向的合分量为零。

二力、三力与多力平衡

二力平衡: 同一物体上的两力等大、反向、共线。
三力平衡: 任意两力的合力与第三力平衡；三力不共线时可构成闭合矢量三角形。
多力平衡: 把所有力任意分成两组，两组的合力等大、反向。

原物体的三力受力图

首尾相接：闭合矢量三角形

平移的是力的矢量表示，实际作用点没有改变。合成两力时用“首端到末端”，三力平衡时看“首尾闭合”。

三种常用方法

方法	处理方式	适用情形
合成法	合成其中两力，与第三力等大反向。	三力平衡，合力方向容易确定。
矢量三角形法	三力首尾相接，用几何关系求边长。	三力不共线，角度关系明确。
正交分解法	选轴，逐力分解，分别列两轴平衡式。	三力或多力平衡，尤其是多个力方向不同。

模型一：静止在粗糙斜面上的物块

质量为 m 的物块静止在倾角 θ 的固定斜面上，仅受重力、支持力和静摩擦力。

物块的受力分析

对应的矢量三角形

重力为斜边，

N

与

f

相互垂直。

沿斜面向上、垂直斜面向外分别列式：

f-mg\sin\theta=0

N-mg\cos\theta=0

还须满足 $f\le f_{\max}$ ；静摩擦力不能直接取 $\mu N$ 。

模型二：斜绳与水平绳的结点

下段轻绳悬挂重力为 G 的静止物体，斜绳 AO 与竖直方向成 θ，BO 水平。

结点 O 的受力分析

对应的矢量三角形

斜绳拉力为斜边，θ 为斜绳与竖直方向的夹角。

先研究重物： $T_C=G$ 。再研究结点 O：

T_A\cos\theta=G

T_B=T_A\sin\theta

结点向下受到的是下段绳的拉力。

例：匀速上滑的木箱

500 kg 木箱受平行斜面向上的拉力 F，沿 37° 固定斜面匀速上滑。动摩擦因数为 0.3， $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ ， $\sin37^\circ=0.6$ 、 $\cos37^\circ=0.8$ 。求摩擦力和拉力。

N=mg\cos37^\circ=4000\,\mathrm N

f=\mu N=1200\,\mathrm N

F-mg\sin37^\circ-f=0

F=4200\,\mathrm N

木箱相对斜面向上滑，滑动摩擦力沿斜面向下。

撤力与转动力

原来五个共点力平衡，其中 $F_1=10\,\mathrm N$ 水平向右，其他四力保持不变。

撤去 F₁

其余四力的合力与原 $F_1$ 平衡，所以大小为 10 N、水平向左。

将 F₁ 转过 90°

新 $F_1'$ 与其余四力的合力垂直，新合力大小为 $10\sqrt2\,\mathrm N$ 。

3.5 · 绳杆模型

轻绳、轻杆与结点

轻绳：只能拉，不能推

绷紧时沿绳施力；松弛时张力为零。

二力轻杆：可拉，也可压

忽略自重、中间无外力、仅两端受力且平衡时，杆力沿两端连线。

活结与死结

活结：绳绕光滑轻环

同一理想轻绳绕过光滑轻环，两侧张力相等；换成光滑轻滑轮时也有这一关系。

死结：三绳系于一点

各绳段的张力不必相等，由结点平衡决定；相等也可能来自对称性。

铰接杆与固定杆

铰接轻杆与两根绳

杆仅两端受力，杆力水平；两根不同绳的拉力可以不同。

固定杆与同一根绳

同绳跨过光滑轻滑轮，两侧等张力；杆对滑轮的力不必沿杆。

两图重物质量均为 m，斜绳与水平杆夹角均为 30°，系统静止。

模型	先确定的关系	结果
铰接杆	$T\sin30^\circ=mg$ $N=T\cos30^\circ$	$T=2mg$ $N=\sqrt3mg$ ，水平向右。
固定杆与滑轮	同一理想绳： $T=mg$ ；两段绳对滑轮的拉力夹角为 120°。	两绳拉力合力大小为 $mg$ ；杆力大小为 $mg$ ，斜向右上，与水平成 30°。

判断杆力方向要看连接与受力条件，不能只凭“轻杆”二字。受拉的二力杆可在保持原平衡构型时换成轻绳，受压的杆不能。

3.5 · 动态平衡

动态平衡的分析方法

外力或几何构型缓慢变化时，把各个位置视为一系列平衡状态，即准静态近似。先确认这一前提，再找恒力、定向力和变力。

图解法：固定恒边，观察变边

适用于三力平衡，其中一个力的大小、方向不变，另一个力的方向固定。

先画恒力 Q，固定三角形的一条边。
沿定向力 $T_1$ 的方向画直线。
依次作变力 $T_2$ ，比较边长。

垂线段最短：若允许构型包含 $T_2\perp T_1$ ，则此时 $T_2$ 最小；未包含时只比较实际范围。

课件例题：转动光滑挡板

小球夹在固定光滑斜面与挡板之间。挡板从竖直缓慢转到水平，小球始终保持接触和平衡。重力不变，斜面支持力方向固定。

挡板支持力先减小后增大，垂直于斜面支持力时最小；斜面支持力逐渐减小，挡板水平时降至零。小球对各面的压力大小由牛顿第三定律得到。

解析式法：列平衡式，判断函数变化

两固定绳端等高，对称放绳使下方重物缓慢下降；θ 为每段斜绳与竖直方向的夹角。

下段轻绳的拉力

T_C=mg

。

2T\cos\theta=mg

结点下降，θ 减小， $\cos\theta$ 增大，所以张力 T 减小。

课件例题：工人向滑轮靠近

质量为 M 的人，牵住跨过光滑轻滑轮、悬挂质量 m 重物的同一轻绳，M>m。人手保持等高，向滑轮靠近后人与重物仍静止。θ 为手中绳段与水平的夹角。

T=mg,\qquad f=mg\cos\theta

N=Mg-mg\sin\theta

靠近滑轮使 θ 增大，f、N 均减小；地面总作用力 $R=\sqrt{N^2+f^2}$ 也减小。此处 f 是静摩擦力，由平衡条件求得。

相似三角形法：力与几何长度对应

O、C 固定且 OC 竖直。轻杆 OB 仅两端受力，B 用轻绳连接 C，并由下段绳承受向下恒力 Q。缓慢上抬 OB，比较杆力 N、绳力 T。

杆力、绳力、恒力分别与 OB、BC、OC 平行，两个三角形相似。

OB、OC、Q 不变，BC 变短：N 不变，T 减小。

课件例题：小球沿半圆柱面上移

固定光滑半圆柱的圆心为 O，C 固定在 O 正上方。小球视为质点，位于外圆面 A，绳沿 AC 拉球缓慢上移。

\frac{N}{OA}=\frac{T}{AC}=\frac{G}{OC}

OA、OC 不变，AC 变短，因此支持力 N 不变，绳力 T 减小。支持力沿 OA 指向圆外。

图解法拓展：辅助圆

第三个力 Q 的大小、方向不变，另外两力的夹角 γ 固定，且 $0^\circ\lt\gamma\lt180^\circ$ 。三力的闭合矢量三角形中，Q 对应固定弦 UV，另一个顶角为 $180^\circ-\gamma$ 。

定弦所对圆周角不变，顶点 P 沿相应圆弧移动；两个变力对应两条弦，比较弦长即可。

圆中最长的弦是直径。只有相应直径构型落在题目允许范围内，该力才取得这一最大值。

辅助圆画在力的矢量图中，不能把它当成装置的运动轨迹。

方法	关键条件	判断依据
图解法	一恒力，另一定向力	三角形变边、垂线段最短
解析式法	角度关系明确	平衡方程与函数变化
相似三角形	对应边方向平行	对应边成比例
辅助圆	一恒力，另两力夹角固定	定弦定角、弦长与直径

3.5 · 整体法与隔离法

研究对象与系统边界

整体法: 把选定的多个物体作为一个系统，只列系统受到的外力。
隔离法: 单独研究某个物体或子系统；原来系统内部的作用可能成为新的外力。
内力、外力: 由系统边界决定：相互作用双方都在系统内，是内力；施力者在系统外，是外力。

整体 A＋B

A、B 间的作用力在整体方程中成对抵消，但并没有消失。

隔离 A

B 对 A 的支持力成为外力。

选作整体与列平衡方程

组成系统的物体不必接触，也不必速度相同。本章应用整体平衡时，应检查各物体均静止或做匀速直线运动；缓慢变化时须满足准静态近似。

“一起运动”不能保证平衡；合外力为零也不能反推每一部分都平衡。

连接物是否在系统内

只选两物体，不含中间绳

绳对两物体的拉力都是外力；即使等大反向，也不能称为系统内力。

选重物和绳，不含滑轮

滑轮对弯曲绳段的作用仍是外力，不能漏掉。

例一：两球三绳，先整体后隔离

两球静止，重力分别为 7 N、9 N。上绳 a 与竖直方向成 37°，下球由水平绳 c 牵住，两球间以轻绳 b 连接。取 $\sin37^\circ=0.6$ 、 $\cos37^\circ=0.8$ ，求三绳张力。

两球＋绳 b：先求外侧绳力

T_a\cos37^\circ=7+9

T_a=20\,\mathrm N,\qquad T_c=T_a\sin37^\circ=12\,\mathrm N

隔离下球：再求中间绳力

T_b=\sqrt{9^2+12^2}=15\,\mathrm N

整体消去不需要的中间绳力；隔离使待求绳力出现在受力图中。

例二：物块下滑，斜面静止

m 质量物块受沿斜面向下的推力 F，沿倾角 θ 的斜面匀速下滑；M 质量斜面始终静止。求地面对斜面的支持力和摩擦力。

两者有相对运动，但加速度均为零。选择物块＋斜面，内部支持力和摩擦力成对抵消。

N_{\text{地}}=(M+m)g+F\sin\theta

f_{\text{地}}=F\cos\theta

图中斜面向右升高，推力斜向左下，地面对斜面的摩擦力水平向右。

课件例题：粗糙墙边的整体受力

物块与斜面体受竖直向上恒力 F，沿粗糙竖直墙一起匀速上升。把两者作为整体，水平方向没有其他外力与墙的支持力平衡。

N_{\text{墙}}=0\quad\Rightarrow\quad f_{\text{墙}}=0

接触粗糙墙面不代表一定有弹力或摩擦力。再隔离上方物块：它受到重力、斜面支持力和沿斜面向上的静摩擦力。

例三：缓慢推物块沿光滑球槽上移

球槽静止在粗糙水平地面，m 质量物块受方向固定、斜向右上的推力 F，从槽底缓慢推到右侧槽口。推力与水平夹角为 α，槽质量为 M。

隔离物块：求 F 与槽支持力

支持力沿半径指向圆心。图解得 F 增大，支持力先减小后增大；支持力与 F 垂直时最小。

物块＋槽：求地面作用

N_{\text{地}}=(M+m)g-F\sin\alpha

f_{\text{地}}=F\cos\alpha

F 增大，地面支持力减小，向左的摩擦力增大；以槽始终接触地面且保持静止为前提。

由所求选对象：所求的力要出现，不必要的未知力尽量少。求系统外力常用整体，求内部相互作用常用隔离；两种方法可交替使用。

相互作用——力

重力与弹力

摩擦力

牛顿第三定律

力的合成和分解

共点力的平衡

公式速览

重力

胡克定律

滑动摩擦力

牛顿第三定律

力的合成

两分力相互垂直 · α 为合力与 F₁ 的夹角

两分力等大 · 每个均为 F₀，两力夹角为 θ

力的分解

固定原力与一分力方向 · 0∘<α<90∘0^\circ\lt \alpha\lt 90^\circ0∘<α<90∘

共点力平衡条件

常见平衡模型

固定斜面 · θ 为斜面倾角

轻绳结点 · θ 为斜绳与竖直方向夹角

动态平衡

对称双绳 · θ 为每条绳与竖直方向夹角

轻杆与绳 · 力三角形和几何三角形相似

整体法与隔离法

力与相互作用

力的三要素

力的图示

力的示意图

力的分类

按性质与按效果

性质力

效果力

重力与重心

竖直向下与垂直斜面

当地竖直与地心方向

重心的位置

均匀直棒

均匀球

均匀三角形薄板

均匀圆环

外形不变，质量分布改变

质量分布的影响

两次悬挂法

① 从 A 点悬挂

② 换 B 点悬挂

③ 两条记录线的交点

弹力的产生与方向

按接触方式判断方向

面与面

点与面

点与点：两球接触

绷紧的轻绳

弹簧

杆：仅两端受力的轻杆

杆：一般情形

胡克定律与实验

在弹性限度内

形变量 x

劲度系数 k

实验装置与操作

竖直悬挂，静止后读数

由长度求伸长量

由质量求弹力

从测量值到图像

F-x 图：由斜率求 k

F-l 图：由横截距求原长

横轴是形变量

横轴是总长度

F-x 图不通过原点：原长读错会怎样？

原长偏大：纵截距为正

原长偏小：纵截距为负

弹簧自重：两种原长基准

同一重弹簧，改变伸长量的起点

误差分析与操作规范

静摩擦与滑动摩擦

逐渐增大推力：从静止到滑动

摩擦力的判断与变化

车厢中的木箱

没有打滑：木箱与车厢保持相对静止

发生打滑：比较箱与车厢的速度

固定原力与一分力方向 · $0^\circ\lt \alpha\lt 90^\circ$